+7 (499) 322-30-47  Москва

+7 (812) 385-59-71  Санкт-Петербург

8 (800) 222-34-18  Остальные регионы

Бесплатная консультация с юристом!

1 в степени бесконечность предел

Данная статья: «Второй замечательный предел» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:

Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.

Формула и следствия

Формула второго замечательного предела записывается следующим образом: $$ lim_ bigg (1+frac<1>bigg)^x = e, text < где >e approx 2.718 $$

Из формулы вытекают следствия, которые очень удобно применять для решения примеров с пределами: $$ lim_ bigg (1 + frac bigg)^x = e^k, text < где >k in mathbb $$ $$ lim_ bigg (1 + frac<1> bigg)^ = e $$ $$ lim_ bigg (1 + x bigg)^frac<1> = e $$

Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.

Примеры решений

Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.

Подставим бесконечность в предел и посмотрим на неопределенность: $$ lim_ bigg( frac bigg)^ = bigg(fracbigg)^infty $$

Получили основание равное единице, а это значит уже можно применить второй замечательный предел. Для этого подгоним основание функции под формулу путем вычитания и прибавления единицы:

Смотрим на второе следствие и записываем ответ:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Найти предел $ lim_ bigg( frac bigg)^ $
Решение
Ответ
$$ lim_ bigg( 1 + frac<1> bigg)^ = e $$

Замечаем, что основание степени стремится к единице $ 1+frac<1> to 1 $, при $ xtoinfty $, а показатель $ x^2 to infty $. Поэтому можно применить второе следствие. Но сперва, разберемся с показателем и приведем его в нужный вид — сделаем равным знаменателю основания. Для этого умножим его на $ x $ и разделим на него же. Получаем:

Уже теперь применяем формулу и получаем:

Пример 2
Определить предел $ lim_ bigg (1+frac<1>bigg)^ $
Решение
Ответ
$$ lim_ bigg (1+frac<1>bigg)^ = 1 $$

Получаем неопределенность $ 1^infty $. Для её раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Но у нас $ xto 1 $. Как быть? Выполняем замену $ y = x-1 $, тогда $ yto 0 $, при $ x to 1 $. Из замены следует, что $ x = y + 1 $.

Пример 3
Вычислить предел $ lim_ (6-5x)^frac $
Решение
Ответ
$$ lim_ (6-5x)^frac = e^ <-5>$$

Находим предел основания и видим, что $ lim_ frac<3x^2+4> <3x^2-2>= 1 $, значит можно применить второй замечательный предел. Стандартно по плану прибавляем и вычитаем единицу из основания степени:

Подгоняем дробь под формулу 2-го замеч. предела:

Теперь подгоняем степень. В степени должна быть дробь равная знаменателю основания $ frac<3x^2-2> <6>$. Для этого умножим и разделим степень на неё, и продолжим решать:

Предел, расположенный в степени при $ e $ равен: $ lim_ frac<18x> <3x^2-2>= 0 $. Поэтому продолжая решение имеем:

Пример 4
Решить предел $ lim_ bigg (frac<3x^2+4> <3x^2-2>bigg) ^ <3x>$
Решение
Ответ
$$ lim_ bigg (frac<3x^2+4> <3x^2-2>bigg) ^ <3x>= 1 $$

Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.

Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем:

А это значит, что формулировка второго замечательного предела не соответствует данной задаче, так как $ frac<1><3>ne 1 $

Продолжаем вычисление предела:

Пример 5
Найти $ lim_ bigg ( frac <3x+4>bigg )^ $
Решение
Ответ
$$ lim_ bigg ( frac <3x+4>bigg )^ = 0 $$

Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем:

А это значит, что формулировка второго замечательного предела не соответствует данной задаче, так как $ 3 ne 1 $

Продолжаем вычисление предела:

Пример 6
Найти $ lim_ bigg ( frac<3x+4> bigg )^ $
Решение
Ответ
$$ lim_ bigg ( frac<3x+4> bigg )^ =infty $$

В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.

Второй замечательный предел

Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:

Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:

  1. Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
  2. Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $frac<1>$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.

Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+infty$ или $-infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.

Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.

Сразу отметим, что основание степени (т.е. $frac<3x+1><3x-5>$) стремится к единице:

При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $lim_(4x+7)=infty$.

Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^infty$. Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. Для начала отметим, что в основании степени формулы (1) расположено выражение $1+frac<1>$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $frac<3x+1><3x-5>$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $frac<3x+1><3x-5>$ под вид $1+frac<1>$. Для начала прибавим и вычтем единицу:

Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что

Продолжим «подгонку». В выражении $1+frac<1>$ формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+frac<6><3x-5>$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:

Итак, основание степени, т.е. $1+frac<1><6>>$, подогнано под вид $1+frac<1>$, который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:

Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $frac<3x-5><6>$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $frac<6><3x-5>$. Итак, имеем:

Выражение $lim_left(1+frac<1><6>>right)^<6>>$ полностью соответствует записи второго замечательного предела согласно формуле (1). Следовательно, $lim_left(1+frac<1><6>>right )^<6>>=e$. Учитывая это, получим:

Отдельно рассмотрим предел в степени:

Учитывая то, что степень стремится к 8, будем иметь:

Ответ получен, $lim_left(frac<3x+1><3x-5>right)^<4x+7>=e^8$. Полное решение без пояснений и промежуточных выкладок выглядит так:

Выражение, стоящее в основании степени, т.е. $7-6x$, стремится к единице при условии $xto<1>$, т.е. $lim_>(7-6x)=7-6cdot1=1$. Для показателя степени, т.е. $frac<3x-3>$, получаем: $lim_>frac<3x-3>=infty$. Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Для начала отметим, что в формуле (1) переменная $x$ стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная $t$ стремится к нулю. В нашем случае $xto<1>$, поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную $y$ ввести так: $y=x-1$. Так как $xto<1>$, то $to<0>$, т.е. $yto<0>$. Подставляя $x=y+1$ в рассматриваемый пример, и учитывая $yto<0>$, получим:

Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. $1+t$, соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. $1+(-6y)$ (выражение $-6y$ играет роль $t$). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид $frac<1>$, т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить $frac<1><-6y>$. Домножим показатель степени на выражение $frac<1><-6y>$. Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение $frac<-6y><1>=-6y$:

Итак, $lim_>biggl(7-6xbiggr)^<3x-3>>=frac<1>$. Полное решение без пояснений таково:

Так как $lim_>(cos<2x>)=1$ и $lim_>frac<1>>=infty$ (напомню, что $sinto<0>$ при $uto<0>$), то мы имеем дело с неопределённостью вида $1^infty$. Преобразования, аналогичные рассмотренным в примерах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:

Так как $sin^2x=frac<1-cos<2x>><2>$, то $cos<2x>-1=-2sin^2x$, поэтому:

Подробное описание того, как находить предел $lim_>frac>$ дано в соответствующей теме.

Так как при $x>0$ имеем $ln(x+1)-ln=lnleft(fracright)$, то:

Раскладывая дробь $frac$ на сумму дробей $frac=1+frac<1>$ получим:

Так как $lim_>(3x-5)=6-5=1$ и $lim_>frac<2x>=infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:

Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=frac<1>$. Разумеется, ответ будет тем же:

Выясним, к чему стремится выражение $frac<2x^2+3><2x^2-4>$ при условии $xtoinfty$:

Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:

1 в степени бесконечность

Вы искали 1 в степени бесконечность? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 в степени бесконечность неопределенность, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 в степени бесконечность».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 в степени бесконечность,1 в степени бесконечность неопределенность,1 в степени бесконечность предел,1 в степени бесконечность равно,2 в степени бесконечность равно,бесконечность в степени 2,в степени бесконечность,единица в степени бесконечность,как раскрыть неопределенность 1 в степени бесконечность,неопределенность 1 в степени бесконечность,неопределенность вида 1 в степени бесконечность,один в степени бесконечность,предел 1 в степени бесконечность,число в бесконечной степени,число в степени бесконечность. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 в степени бесконечность. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, 1 в степени бесконечность предел).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 в степени бесконечность Онлайн?

Решить задачу 1 в степени бесконечность вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Основные неопределенности пределов и их раскрытие

В предыдущей статье мы рассказывали, как правильно вычислять пределы элементарных функций. Если же мы возьмем более сложные функции, то у нас в расчетах появятся выражения с неопределенным значением. Они и называются неопределенностями.

Выделяют следующие основные виды неопределенностей:

  1. Деление 0 на 0 » open=» 0 0 ;
  2. Деление одной бесконечности на другую » open=» ∞ ∞ ;

0 , возведенный в нулевую степень » open=» 0 0 ;

  • бесконечность, возведенная в нулевую степень » open=» ∞ 0 .
  • Мы перечислили все основные неопределенности. Другие выражения в различных условиях могут принимать конечные или бесконечные значения, следовательно, они не могут считаться неопределенностями.

    Раскрытие неопределенностей

    Раскрыть неопределенность можно:

      С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др. );

    С помощью замечательных пределов;

    С помощью правила Лопиталя;

    Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).

    Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.

    Неопределенность Метод раскрытия неопределенности
    1. Деление 0 на 0 Преобразование и последующее упрощение выражения. Если выражение имеет вид sin ( k x ) k x или k x sin ( k x ) то нужно использовать первый замечательный предел. Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений
    2. Деление бесконечности на бесконечность Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя
    3. Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями Преобразование в » open=» 0 0 или » open=» ∞ ∞ с последующим применением правила Лопиталя
    4. Единица в степени бесконечности Использование второго замечательного предела
    5. Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень Логарифмирование выражения с применением равенства lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) = ln lim x → x 0 f ( x )

    Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.

    Вычислите предел lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 .

    Решение

    Выполняем подстановку значений и получаем ответ.

    Ответ: lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 = 3 2 .

    Вычислите предел lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 .

    Решение

    У нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставить x = 0 .

    ( x 2 + 2 , 5 ) x = 0 = 0 2 + 2 , 5 = 2 , 5

    Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:

    lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2

    Теперь разберемся с показателем – степенной функцией 1 x 2 = x — 2 . Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x — 2 = + ∞ и lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x — 2 = + ∞

    Таким образом, можно записать, что lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ .

    Теперь берем таблицу пределов показательных функций с основаниями, большими 0 , и получаем:

    lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ = + ∞

    Ответ: lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = + ∞ .

    Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.

    Решение

    Выполняем подстановку значений.

    В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.

    Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.

    Решение

    Подставляем значение и получаем запись следующего вида.

    Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью. Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения. Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение 12 — x + 6 + x :

    Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.

    Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.

    Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.

    Решение

    В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значении x , равном единице, числитель и знаменатель обращаются в 0 , то мы можем разложить их на множители и потом сократить на х — 1 ,и тогда неопределенность исчезнет.

    Выполняем разложение числителя на множители:

    Теперь делаем то же самое со знаменателем:

    Мы получили предел следующего вида:

    Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.

    Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше 0 , то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.

    Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при x → ∞ у нас возникает неопределенность вида » open=» ∞ ∞ . Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на x m a x ( m , n ) . Приведем пример решения подобной задачи.

    Решение

    Степени числителя и знаменателя равны 7 . Делим их на x 7 и получаем:

    Вычислите предел lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

    Решение

    lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = » open=» ∞ ∞

    Числитель имеет степень 8 3 , а знаменатель 2 . Выполним деление числителя и знаменателя на x 8 3 :

    Ответ: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

    Решение

    У нас есть числитель в степени 3 и знаменатель в степени 10 3 . Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на x 10 3 :

    Выводы

    В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:

    Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.

    Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.

    Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.

    Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.

    Статья написана по материалам сайтов: math1.ru, www.pocketteacher.ru, zaochnik.com.

    »

    Это интересно:  Запрос котировок в 2019 году
    Помогла статья? Оцените её
    1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars
    Загрузка...
    Добавить комментарий

    Adblock detector